FANDOM


Az $ \mathbb {N} \to \mathbb{R} $ függvényeket valós számsorozatoknak nevezzük. (Azért szám~, mert az értékkészlet számokból áll; azért valós, mert az értékkészlet a valós számok halmaza.) Ez azt jelenti, hogy minden pozitív egész számhoz hozzárendelünk egy valós számot. Ha egy sorozat egy n $ \in \mathbb{N} $-hez az a $ \in \mathbb{R} $ elemet rendeli, azt mondjuk, hogy az n-edik tagja a; és úgy írjuk, hogy $ a_{n}= $a.

Sorozatok megadása Egy sorozatot többféleképpen is megadhatunk: a) megadjuk az első néhány tagját, amiből a többire már lehet következtetni:

$ 1, 2, 3, 4,\dots $; $ 2, 4, 6, 8,\dots $; $ 5, 2, -1, -4\dots $; $ 1, 4, 9, 16,\dots $; $ 0, 2, 0, 2,\dots $ stb.

b) ún. zárt képlettel, azaz megadunk egy formulát, amibe az n helyére a k számot írva megkapjuk a k-adik tag értékét:

$ a_{n}=n $; $ b_{n}=2n $; $ c_{n}=8-3n $; $ d_{n}=n^2 $; $ e_{n}=1+(-1)^n $ stb.

c) ún. rekurzív képlettel, azaz megadunk egy formulát, ami alapján az n-edik tag értéke kiszámolható korábbi tagokból, és megadjuk az első néhány tagot is (hogy tetszőleges tag kiszámítható legyen):

$ a_{n}=a_{n-1}+1,\bigskip a_{1}=1 $; $ b_{n}=b_{n-1}+2, \bigskip b_{1}=2 $; $ c_{n}=c_{n-1}-3, \bigskip c_{1}=5 $; $ d_{n}=(d_{n-1})^2+2d_{n-1}+1, \bigskip d_{1}=1 $; $ e_{n}=e_{n-2}, \bigskip e_{1}=0, \bigskip e_{2}=2 $ stb.

Sorozatok tulajdonságai

Korlátosság:

Egy sorozat felülről korlátos, ha:

$ \exists K \in \mathbb{R}, hogy \forall n\in \mathbb{N}-re a_{n}\le K $

azaz, ha van olyan szám (felső korlát), amelyiknél a sorozat összes tagja kisebb.

Egy sorozat alulról korlátos, ha:

$ \exists k \in \mathbb{R}, hogy \forall n\in \mathbb{N}-re a_{n}\ge K $

azaz, ha van olyan szám (alsó korlát), amelyiknél a sorozat összes tagja nagyobb.

Egy sorozat korlátos, ha:

$ \exists K \in \mathbb{R}, hogy \forall n\in \mathbb{N}-re |a_{n}|\le K $

azaz, ha van olyan szám, amelyiknél a sorozat összes tagja abszolút értékben kisebb.

Egy sorozat pontosan akkor korlátos, ha alulról és felülről is korlátos.

Monotonitás:

Egy sorozat monoton nő, ha:

$ a_{n+1}\ge a_{n} \forall n \in \mathbb{N} $

azaz, ha a sorozat egyik tagja sem kisebb az őt megelőzőnél.

Egy sorozat szigorúan monoton nő, ha:

$ a_{n+1}> a_{n} \forall n \in \mathbb{N} $

azaz, ha a sorozat mindegyik tagja nagyobb az őt megelőzőnél.

Egy sorozat monoton csökken, ha:

$ a_{n+1}\le a_{n} \forall n \in \mathbb{N} $

azaz, ha a sorozat egyik tagja sem nagyobb az őt megelőzőnél.

Egy sorozat szigorúan monoton csökken, ha:

$ a_{n+1}< a_{n} \forall n \in \mathbb{N} $

azaz, ha a sorozat mindegyik tagja kisebb az őt megelőzőnél.

Konvergencia:

Egy sorozat konvergens, ha:

$ \exists A \in \mathbb{R} $ $ \forall\epsilon>0 $ $ \exists N \in \mathbb{N} $ $ \forall n \ge N $ $ |a_{n}-A|< \epsilon $

azaz, ha van olyan A szám, hogy tetszőlegesen kicsi pozitív küszöbszámot választva $ ( \epsilon ) $ van olyan küszöbindex (N), hogy az ennél nagyobb indexű sorozattagok mind közelebb vannak A-hoz a küszöbszámnál. (Pongyolábban fogalmazva: a sorozat tagjai tetszőlegesen megközelítik A-t, ha n elég nagy.)

Ezesetben az A számot az $ a_{n} $ sorozat határértékének (limeszének) nevezzük. Jelölése: $ \lim a_{n} = A $


Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos.

Ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens.

Minden korlátos sorozatnak van monoton részsorozata.