Wikia

Matek Wiki

Számrendszer

Vitalap0
17pages on
this wiki

A számrendszerek gondolata magával a matematikával együtt fejlődött. Az őskorban az embernek csak két-három dolgot volt szükséges megkülönböztetnie. Ezért, ha annál több valamilyen értelemben összetartozó tárgyról kellett fogalmat alkotni egyszerűen soknak nevezte. Ahogy azonban fejlődött a világ szüksége volt újabb számok bevezetésére és ezzel egyidőben arra, hogy ezeket rendszerben kezelje. Több dolog számontartására egy olyan eszközre volt szüksége, amely mindig kéznél volt-tipikusan ilyen az ember keze. Így kezdett számolni az ujjakkal, majd mikor az öt ujjnál is több dolog került elő, akkor azt öt ujj helyett azt is lehetett mondani, hoyg egy kéz. Így például 12 ujj az 2 kéznek és 2 ujjnak, vagy ha azt mondták két ökölnyi ököl meg 3 ujj az 2 \cdot 5\cdot 5+ 3= 28 ujjnak felelt meg. Ez tulajdonképpen az ötös számrendszer alapja.

Tehát ennek a számolásnak a lényege, hogy bizonyos darab számot egy új - nagyobb - egységbe foglaltak össze. Sok helyütt a 10 számig számoltak egy nagyobb egységet, mely nem meglepő módon a két kézen található ujjak száma. De például angolszász nyelvterületeken 12-ig, mivel magát az ökölbe szorított kézfejet is egynek tartották. Így lett 12 egy tucat. Ugyanakkor a franciák a 80-at négy-húsznak mondják, mely húszas számrendszer emlékét őrzi. Kevésbé könnyen megmagyarázható a napjainkban is gyakran használt, az ókori Babilonig visszanyúló 60-as számrendszer, melyet az idő mérésében használunk gondolkodás nélkül nap mint nap. Így 60 másodperc az egy 1 perc, 60 perc az egy 1 óra. A számrendszerek és a matematika igazi áttörése mégis csak alig több, mint 1000 éve következett be, amikor az arab matematika felfedezte a 0 számot, mellyel így ki lehetett fejezni, hogy bizonyos egységből egy sincs.

Egy számrendszer (vagy számábrázolási rendszer) egységes szabályok alapján meghatározza, hogy számjegyek sorozata milyen számokat jelenít meg. A használt ábrázolási rendszer meghatározza, hogy a "11" számot a a bináris háromnak, vagy a decimális tizenegynek, vagy a hexadecimális tizenhétnek, vagy a használt számrendszer alapszámának függvényében más számnak kell érteni.

Ennek megfelelően például a  103= 1\cdot 100+ 0 \cdot 10+ 3\cdot 1. Figyeljük meg, hogy a szorzatok jobb oldalán a helyiértéknek megfelelően 10 hatványai találhatók, míg a baloldalon azon a helyiértéken található számérték.

Vegyünk egy másik példát; A 6 -os számrendszert: Ebben 0,1,2,3,4,5 jegyekkel lehet megjelölni az első 6 természetes számot. A következő két táblázat pedig az összeadás műveleteket írja le: Értelmezés sikertelen (ismeretlen függvény\begin): \begin{tabular}{l|l|l|l|l|l|l} +&0&1&2&3&4&5\\ \hline 0&0&1&2&3&4&5\\ \hline 1&1&2&3&4&5&10\\ \hline 2&2&3&4&5&10&11\\ \hline 3&3&4&5&10&11&12\\ \hline 4&4&5&10&11&12&13\\ \hline 5&5&10&11&12&13&14 \end{tabular}

illetve a szorzásét: Értelmezés sikertelen (ismeretlen függvény\begin): \begin{tabular}{l|l|l|l|l|l|l} *&0&1&2&3&4&5\\ \hline 0&0&0&0&0&0&0\\ \hline 1&0&1&2&3&4&5\\ \hline 2&0&2&4&10&12&14\\ \hline 3&0&3&10&13&20&23\\ \hline 4&0&4&12&20&24&32\\ \hline 5&0&5&14&23&32&41  \end{tabular} 

példa az összeadásra.

Felmerül a kérdés, hogy hogyan lehet átváltani 2-es számrenszerből 5-ös számrendszerbe egy számot, vagy 10-esből 7-esbe. Ebben az esetben a helyiértékes ábrázolási rendszer.

A Wikia-hálózat

Véletlen wiki