FANDOM


Azokat az egyenleteket hívjuk másodfokúnak, amelyekben az ismeretlen legmagasabb előforduló hatványa 2.

Tehát minden másodfokú egyenlet felírható ún. általános alakban:

$ {a\cdot{x^2}+b\cdot{x}+c=0}\text{, ahol: a, b, c}\in{\mathbb{R}} $ , $ a\ne{0} $.

A másodfokú egyenleteknek a valós számok körében nulla, egy vagy két megoldásuk van, ezek azonban általában nem találhatóak meg egyenletrendezéssel. A kivételt az ún. hiányos másodfokú egyenletek képezik.


Hiányos másodfokú egyenletek megoldása Szerkesztés

Akkor mondjuk, hogy egy másodfokú egyenlet hiányos, ha általános alakjában az első-, vagy a nullad fokú tag együtthatója 0.

Azaz az egyenlet $ {a\cdot{x^2}+c=0} $ , vagy $ {a\cdot{x^2}+b\cdot{x}=0} $ alakú.

Ilyenkor az első esetben gyökvonással, a másodikban kiemeléssel megoldhatjuk az egyenletet.


Kidolgozott példák:

1. (amikor az elsőfokú tag hiányzik - megoldás gyökvonással)
$ x^{2}-3(x+3)+4=2(2-x)-x $ / zárójelfelbontás
$ x^{2}-3x-9+4=4-2x-x $ / összevonás
$ x^{2}-3x-5=4-3x $ / +3x
$ x^{2}-5=4 $ / Olyan egyenlethez jutottunk, amiből hiányzik az elsőfokú tag!
Fejezzük ki az ismeretlent: / +5
$ x^{2}=9 $ / $ \sqrt{} $
$ |x|=3 $
$ x_1{=}{3},x_2{=}{-3} $


2. (amikor a nullad fokú tag hiányzik - megoldás kiemeléssel)
$ x^{2}-10x+2=2(1-3x) $ / zárójelfelbontás
$ x^{2}-10x+2=2-6x $ / -2
$ x^{2}-10x=-6x $ / Olyan egyenlethez jutottunk, amiből hiányzik a nullad fokú tag!
Rendezzük az egyenletet nullára: / +6x
$ x^{2}-4x=0 $ / Emeljünk ki x-et!
$ x(x-4)=0 $ / esetszétválasztás
$ x=0 $ vagy $ x-4=0 $
azaz
$ x_1{=}0,x_2{=}4 $


Másodfokú egyenletek megoldása megoldóképlettel Szerkesztés

Most egy olyan eljárást mutatunk be, amellyel minden másodfokú egyenlet megoldható.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete: Legyen az egyenlet az $ {a\cdot{x^2}+b\cdot{x}+c=0} $ általános alakban adva.
Ekkor az egyenlet megoldásai: $ {x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} $.

A képlet helyességének bizonyítását megtalálod itt.


Kidolgozott példa:

$ x^{2}+3(2x-10)=5x $ zf
$ x^{2}+6x-30=5x $ / -5x
$ x^{2}+x-30=0 $ / most az egyenlet általános alakú, ezért alkalmazható a megoldóképlet:

$ a=1,b=-30 $

$ {x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} $ $ = $ $ {\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot{1}\cdot{(-30)}}}{2\cdot{1}}} $ $ = $ $ \frac{-1\pm\sqrt{1+120}}{2} $ $ = $ $ \frac{-1\pm{11}}{2} $

$ {x_{1}=\frac{-1+11}{2}}=5 $ , $ {x_{2}=\frac{-1-11}{2}}=-6 $


Az előbbi példában az egyenletnek két megoldása volt, de a lap elején utaltunk rá, hogy lehetne egy vagy éppen egy sem.

Ha ránézünk a megoldóképletre, láthatjuk, hogy a két megoldás annak hatására adódik, hogy a gyökös kifejezést a számlálóban egyszer hozzáadjuk, egyszer levonjuk.

Most már könnyű kitalálni, hogy egyetlen megoldás pontosan akkor lesz, ha a gyök alatti kifejezés értéke nulla, hiszen ekkor a számlálóban -b+0 = -b-0 = -b.

Abban az esetben pedig, ha a gyök alatti kifejezés értéke negatív, nincs egyetlen megoldás sem, hiszen negatív számból (a valós számok körében) nem tudunk négyzetgyököt vonni, ezt a műveletet nem értelmezzük.

Viete-formulák, másodfokú kifejezés gyöktényezős alakja Szerkesztés

A másodfokú egyenlet gyökei (megoldásai) és együtthatói között adnak meg összefüggéseket az ún. Viete-formulák:

Legyen az egyenlet $ ax^2+bx+c=0 $ alakban adva, és jelöljük a gyökeit $ x_1, x_2 $-vel.
Ekkor: $ x_1 + x_2 =\frac{-b}{a} $ , $ x_1\cdot{x_2} =\frac{c}{a} $ .

A formulák azonnal adódnak, ha a megoldóképlet alapján összeadjuk illetve összeszorozzuk a két gyököt. Mégis nagyon hasznosak lehetnek bizonyos típusú feladatok megoldása során. Erre mutatunk most két példát.


Kidolgozott példák:

1. Mely k paraméterre lesz az alábbi egyenlet egyik gyöke: 2 ?
$ x^{2}-7x+k=0 $
Megoldás:
Jelöljük a másik gyököt y-nal és írjuk fel a Viete-formulákat:
$ \left . \begin{matrix} 2+y=7\\ 2\cdot{y}=k \end{matrix} \right \} $

$ \Rightarrow $ $ y=7-2=5\Rightarrow{k=2\cdot{5}=10} $


2. Határozzuk meg az alábbi egyenlet gyökeinek négyzetösszegét!
$ 2x^{2}-3x-3=0 $
Megoldás: használjuk fel az összeg négyzetére vonatkozó azonosságot, majd a Viete-formulákat:
$ {x_1}^{2}+{x_2}^{2}=(x_1+x_2)^{2}-2{x_1}{x_2}=\left(\frac{-b}{a}\right)^{2}-2\cdot{\frac{c}{a}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-2\cdot\left({\frac{-3}{2}}\right)=\frac{9}{4}+{\frac{6}{2}}=\frac{9}{4}+{\frac{12}{4}}=\frac{21}{4} $