FANDOM


A halmaz matematikai alapfogalom, amely bizonyos dolgok összességét jelenti.

Egy halmazt elemeinek egyértelmű meghatározásával adhatunk meg. Két halmazt egyenlőnek mondunk, ha elemeik megegyeznek.

Beszélünk üres halmazról is. Például, ha az A halmaz a Cipruson élő 120 évnél idősebb emberek halmaza, és pillanatnyilag Ciprus legidősebb lakója 104 éves, akkor A üres.


Jelölések Szerkesztés

A halmazokat hagyományosan nyomtatott nagybetűkkel jelöljük, elemeiknek meghatározását pedig kapcsos zárójelbe tesszük. Amennyiben az adott halmaznak véges sok eleme van, megadhatjuk elemeinek felsorolásával is.

Például: A = {egyjegyű pozitív páratlan számok}, azaz A = {1, 3, 5, 7, 9}.

Az üres halmaz jele: \emptyset, vagy {}.

Ha azt szeretnénk kifejezni, hogy egy adott elem az adott halmazban van, akkor az "\in" szimbólumot használjuk.

Például a fenti példában: {5}\in{A} .

Hasonlóan utalhatunk arra is, hogy valami nincs benne a halmazban, például: {2}\notin{A} .

Egy halmaznak nemcsak egy, hanem több elemére is hivatkozhatunk.

Definíció: Az A halmaz részhalmaza B-nek, ha A minden eleme benne van B-ben is. Jelölés: {A}\subseteq{B}.

Például: Legyen A = {páros számok}, B = {10-zel osztható számok}. Ekkor {B}\subseteq{A} , hiszen a 10-zel osztható számok mind párosak.

Figyeljük meg, hogy a definíció alapján minden halmaz részhalmaza önmagának, azaz az {A}\subseteq{A} kifejezés bármely halmaz esetén igaz. Hasonlóan az üreshalmaz minden halmaznak részhalmaza! Azaz {\emptyset}\subseteq{A} tetszőleges A esetén.

Definíció: Az A halmaz valódi részhalmaza B-nek, ha A részhalmaza B-nek,
de nem egyenlő vele.  Jelölés: {A}\subset{B}.

Például: Legyen A = {1 és 8 közé eső páratlan számok}, B = {1 és 8 közé eső prímszámok}. Ekkor A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5, 7}, tehát {A}\subset{B}.

Ha belegondolunk a valódi részhalmazt jellemezheti az alábbi

Definíció: Az A halmaz valódi részhalmaza B-nek, ha A részhalmaza B-nek, de B nem részhalmaza A-nak.

Azt a tényt, hogy egy halmaz nem részhalmaza a másiknak, a \nsubseteq szimbólummal jelöljük.

Adott halmazok tartalmazkodó viszonyainak szemléltetésére szolgál a Venn-diagram.

Halmazműveletek Szerkesztés

Definíció: Két vagy több halmaz egyesítésén vagy unióján azt a halmazt értjük, amely
pontosan azokat az elemeket tartalmazza, amelyek az eredeti halmazok közül legalább az egyikben benne
vannak. Az unióképzés jele: \cup.
Definíció:  Két vagy több halmaz közös részén vagy metszetén azt a halmazt értjük, amely
pontosan azokat az elemeket tartalmazza, amelyek az eredeti halmazok mindegyikében benne vannak.
A metszetképzés jele: \cap.

Elnevezés: Amennyiben két halmaznak egyetlen közös eleme sincs, azaz metszetük üres, akkor a két halmazt diszjunktnak nevezzük.

Definíció: Az A mínusz B halmaz azon elemek összessége, amelyek elemei az A-nak, de nem
elemei B-nek. Jelölése: {A}\setminus{B}.
Definíció:  Az A és B halmaz szimmetrikus differenciája az a halmaz, amely
azokat az elemeket tartalmazza, amelyek az A és B közül pontosan az egyikben vannak benne.
Jelölése: {A}\bigtriangleup{B}. Képletben: {A}\bigtriangleup{B}{{=}}{({A}\setminus{B})}\cup{({B}\setminus{A})}.

Például: legyen A ={1, 4, 16, 32}, B ={ 2, 4, 8, 16}.

Ekkor {A}\cup{B} ={1, 2, 4, 8, 16, 32}, {A}\cap{B} ={4, 16}, {A}\setminus{B} ={1, 32}, {B}\setminus{A} ={2, 8}, {A}\bigtriangleup{B} ={1, 2, 8, 32}.


A gyakorlatban a vizsgálódásunk tárgyát képező halmazok általában valamilyen alaphalmaz részhalmazaiként adódnak. Például, ha a K halmaz a Kölcsey-díjjal rendelkezők, az S halmaz a Szép versekben publikáltak halmaza, akkor mindkét halmaz elemei a magyar írók M halmazából kerülnek ki, ez utóbbi tehát tekinthető alaphalmaznak.

Az utolsó halmazművelet az alaphalmaz fogalmához kapcsolódik:

Definíció:  Legyen H egy nem üres halmaz és A annak egy részhalmaza. Ekkor az A halmaz
H alaphalmazra vonatkozó komplementere az a halmaz, amely pontosan azokat az elemeket tartalmazza
H-ból, amelyeket az A nem. Jelölése: \bar{A}. Képletben: \bar{A}{{=}}{H}\setminus{A}.

Így a fenti példában a K halmaz M-re vonatkozó komplementere nem más, mint azon magyar írók halmaza, akik (eddig még) nem kaptak Kölcsey-díjat.

Halmazműveletek alapvető tulajdonságai Szerkesztés

Az unióképzés tulajdonságai: A metszetképzés tulajdonságai:
1. kommutativitás: {A}\cup{B}{{=}}{B}\cup{A} 1. kommutativitás: {A}\cap{B}{{=}}{B}\cap{A}
2. asszociativitás: {({A}\cup{B})}\cup{C}{{=}}{A}\cup{({B}\cup{C})} 2. asszociativitás: {({A}\cap{B})}\cap{C}{{=}}{A}\cap{({B}\cap{C})}
3. {A}\cup{\emptyset}{{=}}{A} 3. {A}\cap{\emptyset}{{=}}{\emptyset}
4. {A}\cup{A}{{=}}{A} 4. {A}\cap{A}{{=}}{A}

Disztributív tulajdonságok:

1. {({A}\cup{B})}\cap{C}{{=}}{({A}\cap{C})}\cup{({B}\cap{C})}

2. {({A}\cap{B})}\cup{C}{{=}}{({A}\cup{C})}\cap{({B}\cup{C})}

A különbségképzés tulajdonságai: A szimmetrikus differencia tulajdonságai:
A különbségképzés nem kommutatív! 1. kommutativitás: {A}\bigtriangleup{B}{{=}}{B}\bigtriangleup{A}
1. {{A}\setminus{A}}{{=}}{\emptyset} 2. asszociativitás: {({A}\bigtriangleup{B})}\bigtriangleup{C}{{=}}{A}\bigtriangleup{({B}\bigtriangleup{C})}
2. {{A}\setminus{\emptyset}}{{=}}{A} 3. {A}\bigtriangleup{\emptyset}{{=}}{A}
3. {{\emptyset}\setminus{A}}{{=}}{\emptyset} 4. {A}\bigtriangleup{A}{{=}}{\emptyset}

A komplementerképzés tulajdonságai:

1. \bar{\bar{A}}{{=}}{A}

2. A H alaphalmazra vonatkozóan:

\bar{H}{{=}}{\emptyset}

\bar{\emptyset}{{=}}{H}

3. De Morgan-azonosságok:

\overline{{A}\cup{B}}{{=}}{\bar{A}}\cap{\bar{B}}

\overline{{A}\cap{B}}{{=}}{\bar{A}}\cup{\bar{B}}

Halmazok elemszáma Szerkesztés

Egy halmaz elemszámának jelölésére a {|A|} szimbólumot használjuk.

Egy halmaz számossága lehet véges, megszámlálhatóan végtelen, vagy kontinuum.

Egy halmaz véges elemszámú, ha véges sok eleme van.

Például: legyen A ={kétjegyű 13-mal osztható számok halmaza}. Ekkor A ={13, 26, 39, 52, 65, 78, 91}, tehát {|A|}{{=}}{7}.

Definíció:Egy halmaz elemszáma megszámlálhatóan végtelen, ha létezik egy egy-egy értelmű
(bijektív) megfeleltetés az adott halmaz elemei és a természetes számok (\mathbb{N}) halmaza között. 

Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a halmaz elemszáma végtelen, de elemeit meg tudjuk indexelni a természetes számokkal.

Például: az egész számok \mathbb{Z} halmaza megszámlálhatóan végtelen, hiszen a definícióban szereplő bijekciót megvalósítja (többek között) a természetes számokon értelmezett f(n) = 
\begin{cases} 
  n/2,  & \text{ha } n\ p\acute{a}ros \\
  -(n+1)/2, & \text{ha } n\ p\acute{a}ratlan
\end{cases}

függvény.

A valós számok nevezetes részhalmazai közül még a racionális számok (\mathbb{Q}) halmaza megszámlálhatóan végtelen.


Azokat a végtelen elemszámú halmazokat, amelyek nem megszámlálhatóan végtelenek, kontinuum számosságúnak mondjuk. Ilyen halmaz az irracionális számok (\mathbb{Q^\ast}) és a valós számok (\mathbb{R}) halmaza.


Szita formula:

Nyilvánvaló, hogy ha az A és B halmazok diszjunktak, akkor {|{A}\cup{B}|}{{=}}{|A|}+{|B|}.

Gondoljuk meg, hogy mit mondhatunk, ha a két halmaz metszete nem üres. Az előbbi azonosság azért nem lesz igaz, mert a jobboldalon a metszet elemeit kétszer számoltuk: egyszer az A, egyszer a B elemei között. Így a helyes eredményhez a metszetelemek számát egyszer le kell vonnunk.

Tehát, ha a halmazok diszjunktságát nem tesszük fel, akkor: {|{A}\cup{B}|}{{=}}{|A|}+{|B|}-{|{A}\cap{B}|}.

Ez az azonosság az ún. szita formula két halmazra vonatkozó alakja. Az elnevezés onnan ered, hogy az unió elemszámát úgy adjuk meg, hogy először mohó módon összeadjuk az egyes halmazok elemszámát, aztán "kiszitáljuk" amit feleslegesen többször számoltunk. A formula általánosítható tetszőleges számú halmazra. Az alábbiakban még felírjuk a három halmazra vonatkozó esetet.

{|{A}\cup{B}\cup{C}|}{{=}}{|A|}+{|B|}+{|C|}-{|{A}\cap{B}|}-{|{A}\cap{C}|}-{|{B}\cap{C}|}+{|{A}\cap{B}\cap{C}|}

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.