FANDOM


Az egyenlet olyan kifejezés, amely ismert és ismeretlen mennyiségek matematikai kapcsolatát rögzíti, méghozzá egyenlőségjellel.

Segítségével meghatározhatunk ismeretlen mennyiségeket. Ezt a folyamatot az egyenlet megoldásának nevezzük, amely történhet algebrai, vagy grafikus úton.


Példák:

Karcsi egyik nap olyan csokival kínált meg, amilyet még sosem ettem. Nagyon ízlett, de drágának tűnt, úgyhogy megkérdeztem, mennyibe került. Karcsi nem tudta a választ kapásból, de arra emlékezett, hogy három csokit és egy doboz 2 petákos szárított fügét vett előző nap, amiért összesen 14 petákot fizetett.

Tehát a csoki ára ismeretlen: x. De tudtuk, hogy 3\cdot{x}+2=14. Ebből gyorsan rájöttünk, hogy x, vagyis a csoki ára csakis 4 peták lehetett.

Nézzünk egy bonyolultabb esetet:

Egy barátom lelkesen mesélte, hogy alakult a tegnap esti pókerpartija. Először elvesztette a pénze felét, majd nyert 50 garast. Aztán elvesztette a pénze 5-öd részét, de rögtön megint nyert 40 garast. Aztán megint vesztett: a pénze 6-od részét, sőt ezen felül még 50 garast. Az utolsó körben 30 garast nyert. Már a felénél elvesztettem a fonalat(!), de tudtam, hogy 380 garassal állt fel az asztaltól. Rettentően izgatott, hogy végül is nyert vagy vesztett? Ehhez persze tudnom kéne, hogy mennyivel ült le játszani.

Felírtam hát az egyenletet, ahol x a barátom alaptőkéje:

\left(\left({\frac{1}{2}}\cdot{x}+50\right)\cdot{\frac{4}{5}}+40\right)\cdot{\frac{5}{6}}-50+30=380

Ejha, gondoltam magamban, ember legyen a talpán, aki rájön, hogy itt mennyi az x!

Nem vagyunk azonban rászorulva, hogy az egyenletekben szereplő ismeretlenek értékét találgatással, vagy fejben osztva-szorozva határozzuk meg. Ma már a legkülönbözőbb típusú és nehézségű egyenletek megoldására vannak jó módszereink.

A középiskolában ezek közül az alábbi típusokat tanuljuk:

elsőfokú egyenlet, másodfokú egyenlet, magasabb fokú egyenlet, abszolútértékes egyenlet, törtes egyenlet, irracionális egyenlet, exponenciális egyenlet, logaritmikus egyenlet, trigonometrikus egyenlet, egyenletrendszer.

Egyenletek rendezése Szerkesztés

Az egyenletek megoldásának legelemibb módszere az egyenlet rendezés, amellyel a legtöbb középiskolában tanult egyenlet típus megoldható.

Lényege, hogy az egyenletet egyre egyszerűbb alakra hozzuk, miközben csak arra kell odafigyelnünk, hogy az általunk felírt egyszerűbb változatok egyenértékűek (ekvivalensek) maradjanak az eredetivel.

Azt mondjuk, hogy két egyenlet egyenértékű (ekvivalens), ha a megoldásaik megegyeznek.

Az egyenlet olyan átalakítását, amely vele egyenértékű egyenlethez vezet, ekvivalens átalakításnak nevezzük.


Ekvivalens átalakítások: Szerkesztés

0) zárójelek felbontása, tagok számmal való egyszerűsítése, tagok felcserélése vagy összevonása az egyenlet egyik oldalán.

1) egy szám hozzáadása vagy kivonása az egyenlet mindkét oldalához/-ból.

2) olyan ismeretlent is tartalmazó kifejezés hozzáadása vagy kivonása az egyenlet mindkét oldalához/-ból, amely vagy minden helyettesítés esetén értelmes, vagy az egyenletben már eleve szerepel.

3) az egyenlet mindkét oldalának egy 0-tól különböző számmal való szorzása vagy osztása.

4) az egyenlet olyan, ismeretlent is tartalmazó kifejezéssel való szorzása vagy osztása, ami semmilyen helyettesítés esetén nem lehet nulla.

5) exponenciális egyenleteknél: ha az egyenlet mindkét oldalán egyetlen egy tagú, 1-együtthatójú, azonos alapú exponenciális kifejezés áll, akkor az alapok elhagyása.

6) logaritmikus egyenleteknél: ha az egyenlet mindkét oldalán egyetlen egy tagú, 1-együtthatójú, azonos alapú logaritmikus kifejezés áll, akkor a logaritmus elhagyása.

Kidolgozott példák:

1. Nézzük az előző részben felírt 2. példa megoldását:

\left(\left({\frac{1}{2}}\cdot{x}+50\right)\cdot{\frac{4}{5}}+40\right)\cdot{\frac{5}{6}}-50+30=380 / zárójel felbontás és az utolsó két tag összevonása a bal oldalon
\left({\frac{4}{10}}\cdot{x}+{\frac{200}{5}}+40\right)\cdot{\frac{5}{6}}-20=380 / egyszerűsítés
\left({\frac{2}{5}}\cdot{x}+40+40\right)\cdot{\frac{5}{6}}-20=380 / összevonás
\left({\frac{2}{5}}\cdot{x}+80\right)\cdot{\frac{5}{6}}-20=380 / zárójel felbontás
{\frac{10}{30}}\cdot{x}+{\frac{400}{6}}-20=380 /egyszerűsítés
{\frac{1}{3}}\cdot{x}+{\frac{200}{3}}-20=380 /{}\cdot{3}
{x}+{200}-60=1140 /összevonás
{x}+140=1140 /-140
{x}=1000


2. 4^{2}\cdot{3^{x}}=9\cdot{2^{2x}} / a jobb oldal átalakítása
4^{2}\cdot{3^{x}}=3^{2}\cdot{4^{x}} / :{4^{x}}
4^{2}\cdot{\frac{3^{x}}{4^{x}}}=3^{2} / :{4^{2}}
\frac{3^{x}}{4^{x}}=\frac{3^{2}}{4^{2}} / mindkét oldal átalakítása
\left(\frac{3}{4}\right)^{x}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2} / alapok elhagyása
x=2


Nem ekvivalens átalakítások: Szerkesztés

Bizonyos egyenletek megoldása során nem ekvivalens átalakításra kényszerülhetünk. Ez azt jelenti, hogy az újonnan felírt egyenletnek az eredetihez képest kevesebb, vagy több megoldása van. Szakmásabban mondva gyökvesztés következik be, vagy hamis gyök keletkezik.

Ilyen esetben a gyökvesztést esetszétválasztással, hamis gyök keletkezését pedig kikötésekkel lehet elkerülni.

Egyenletek osztályozása Szerkesztés

Azonosságok:

Azt az egyenletet, amely a benne előforduló ismeretlenek minden számértéke mellett igaz marad, azonosságnak hívjuk.

Példák:

x+x=2\cdot{x}

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

\text{log }(ab)=\text{log }a+\text{log }b

bővebben: hatványazonosságok, gyökvonás azonosságai, logaritmikus azonosságok, trigonometrikus azonosságok

Határozott egyenletek:

Egy egyenlet határozott, ha véges számú szám létezik, amelyet az ismeretlen helyébe írva az egyenlet teljesül. Ezeket a számokat az egyenlet megoldásainak vagy gyökeinek nevezzük.

Például: a 3x+2=20 egyenlet egyetlen megoldása az x=6.

Határozatlan egyenletek:

Egy egyenlet határozatlan, ha végtelen sok megoldása van.

Például: az x+y=10 egyenletnek végtelen sok megoldása van, hiszen tetszőlegesen rögzítve például x értékét, hozzá az y=10-x választással az egyenletet kielégítő (x,y) számpárt kapunk.

Általában is igaz, hogy ha egy egynél több ismeretlent tartalmazó egyenletnek van megoldása, akkor végtelen sok megoldása van.

Ellentmondó egyenletek:

Azokat az egyenleteket, amelyeknek egyáltalán nincs megoldásuk, ellentmondónak nevezzük.

Példák:

x+2=x-3

|x|=-5

(a+b)^2+1=0 (a valós számok körében nincs megoldása)

Algebrai és transzcendens egyenletek:

Algebrai egyenletnek hívjuk azokat az egyenleteket, amelyben az ismert és ismeretlen mennyiségek a négy alapművelettel és racionális kitevőjű hatványozással vannak összekapcsolva. A más felépítésű egyenleteket transzcendensnek mondjuk.

Példa algebrai egyenletre: (x+3)^{3/2}=6x+2 ,

transzendens egyenletre: 2^{x+3}=16x .

Egy egyismeretlenes algebrai egyenletről azt mondjuk, hogy n-ed fokú, ha benne az ismeretlen 
előforduló legmagasabb hatványa n.

Példa másodfokú egyenletre: x^{2}-3x=6-2x ,

negyedfokú egyenletre: 4x^{3}-12x^{2}-x^{4}=x(10+5x) .

Figyelem! Az egyenlet fokát a zárójelek felbontása után állapíthatjuk meg!

Például az x^{3}(1-x^{2})=-24 egyenlet nem 3-ad, hanem 5-öd fokú, hiszen a baloldalon álló kifejezés:

x^{3}(1-x^{2})=x^{3}-x^{5} !

Egy egytagú matematikai kifejezésben (ahol az ismert és ismeretlen mennyiségek egymással szorzás vagy
osztás által vannak összekapcsolva), a szorzótényezőként az ismeretlen előtt álló számot az ismeretlen
együtthatójának nevezzük.
Egy n-ed fokú egyenletben az n-ed fokú tag együtthatóját az egyenlet főegyütthatójának nevezzük.

Például a fenti negyedfokú egyenletben az x^{3} együtthatója 4, az x^{4} együtthatója, azaz az egyenlet főegyütthatója pedig -1.

Vagy a \frac{\sqrt{x}}{3} kifejezésben \sqrt{x} együtthatója \frac{1}{3}.

Aszerint, hogy egy egyenlet együtthatói mely nevezetes számhalmazból kerülnek ki, szokás beszélni egész-, racionális-, valós vagy komplex együtthatós egyenletekről.

Az algebra alaptétele: Minden legalább elsőfokú valós vagy komplex együtthatós algebrai egyenletnek
van gyöke a komplex számok körében.

A tétel fontos következménye:

Egy n-ed fokú valós együtthatós egyenletnek legfeljebb n valós gyöke van.

n-ed fokú egyenletekről bővebben olvashatsz itt: Magasabb fokú egyenletek.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.